Question

设0<a<b,证明不等式 （2a)/(a^2+b^2)<(lnb-lna)/(b-a)<1/(ab)^0.5

Answer 1

设f(x)=ln x，则f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)上可导，
则至少存在一点c∈(a，b)使得f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)
f'(x)=(ln x)'=1/x，左边=(2a)/(a^2+b^2)<2a/2ab=1/b=f'(b)
右边=1/(ab)^0.5>1/(a*a)^0.5=1/a=f'(a)，中间部分=f'(c)
则要比较f'(a)，f'(b)，f'(c)三者的大小。
又有f"(x)=-1/x^2，当x>0时，f"(x)<0，所以f'(x)单调递减
因为a<c<b，所以可得f'(b)<f'(c)<f'(a)，从而原式成立。

Answer 2

引用183685775的回答：
设f(x)=ln x，则f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)上可导，
则至少存在一点c∈(a，b)使得f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)
f'(x)=(ln x)'=1/x，左边=(2a)/(a^2+b^2)<2a/2ab=1/b=f'(b)
右边=1/(ab)^0.5>1/(a*a)^0.5=1/a=f'(a)，中间部分=f'(c)
则要比较f'(a)，f'(b)，f'(c)三者的大小。
又有f"(x)=-1/x^2，当x>0时，f"(x)<0，所以f'(x)单调递减
因为a<c<b，所以可得f'(b)<f'(c)<f'(a)，从而原式成立。

右侧的答案错了