Question

数学高一空间几何体问题

正四面体ABCD 的棱长为1，棱AB平行于平面α，求正四面体上的所有点在平面α内射影构成图形面积的取值范围。

Answer 1

解此题的关键在于如何寻找取值范围两个点的状态，即面积最大和最小时四面体和平面α的状态。已知AB平行于α，当CD也平行于α时射影将构成一个什么图形呢?一个正方形，AB、CD的射影构成正方形的对角线，因为AB、CD长1,且相互垂直，所以此时射影面积为1/2。保持AB平行于α，以AB为轴转动四面体，射影面积将会发生变化，当面ABC或ABD平行于α时射影面积最小即为面ABC的面积  √3/4（四分之根三）.继续转动，当CD垂直于α时，射影图形是一个三角形(C,D射影到同一个点)，此时射影面积为√2/4(四分之根二)，（先计算AB、CD之间的距离也就是射影三角形的高为√2/2，）。在继续旋转下一个状态是面ABD或ABC平行于α...所以射影面积范围是[√2/4,1/2].

Answer 2

1≤s≤「2

Answer 3

四分之根三到一，闭区间