Question

过抛物线y2=4x焦点F的直线L与它交于A,B两点，则弦AB的中点的轨迹方程是多少

过抛物线y2=4x焦点F的直线L与它交于A,B两点，则弦AB的中点的轨迹方程是多少

··能不能帮帮我··

Answer 1

2p=4
p/2=1
所以F(1,0)

直线是x=1时，中点就是F

斜率存在时
y-0=k(x-1)
y=kx-k
y²=4x
k²x²-2k²x+k²=4x
k²x²-(2k²+4)x+k²=
x1+x2=(2k²+4)/k²
y1+y2=k(x1-1)+k(x2-1)
=k(x1+x2)-2k
=(2k²+4)/k-2k
=4/k

中点x=(x1+x2)/2=(k²+2)/k²=1+2/k²
y=(y1+y2)/2=2/k
k=2/y
所以x=1+2/(4/y²)=y²/2+1
(1,0)也在曲线上
所以是y²=2(x-1)

Answer 2

2p=4
p/2=1
所以F(1,0)
直线是x=1时，中点就是F
斜率存在时
y-0=k(x-1)
y=kx-k
y²=4x
k²x²-2k²x+k²=4x
k²x²-(2k²+4)x+k²=
x1+x2=(2k²+4)/k²
y1+y2=k(x1-1)+k(x2-1)
=k(x1+x2)-2k
=(2k²+4)/k-2k
=4/k
中点x=(x1+x2)/2=(k²+2)/k²=1+2/k²
y=(y1+y2)/2=2/k
k=2/y
所以x=1+2/(4/y²)=y²/2+1
(1,0)也在曲线上
所以是y²=2(x-1)