过抛物线x^2=4y焦点作直线交抛物线于AB两点,求弦AB的中点M的轨迹方程
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解：∵抛物线方程是x²=4y..........(1)
∴它的焦点是(0,1)
∴过焦点的直线方程是y=kx+1..........(2)
∵由(1),(2)得x²-4kx-4=0 (设x1,x2它的两个根)
∴弦AB的中点M的横坐标是 x=(x1+x2)/2=2k..........(3)
∵由(1),(2)得y²-2(2k²+1)y+1=0 (设y1,y2它的两个根)
∴弦AB的中点M的纵坐标是 y=(y1+y2)/2=2k²+1...........(4)
由(3)与(4)消去k可得x²=2(y-1)
故弦AB的中点M的轨迹方程是 x²=2(y-1)。
∴它的焦点是(0,1)
∴过焦点的直线方程是y=kx+1..........(2)
∵由(1),(2)得x²-4kx-4=0 (设x1,x2它的两个根)
∴弦AB的中点M的横坐标是 x=(x1+x2)/2=2k..........(3)
∵由(1),(2)得y²-2(2k²+1)y+1=0 (设y1,y2它的两个根)
∴弦AB的中点M的纵坐标是 y=(y1+y2)/2=2k²+1...........(4)
由(3)与(4)消去k可得x²=2(y-1)
故弦AB的中点M的轨迹方程是 x²=2(y-1)。
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