Question

如图，A是半径为2的圆O上的一点，P是OA的延长线上的一点，过点P做圆O的切线，切点为B，设PA=m，PB=n

1）当n=4是，求m的值
2）圆O上是否存在点C，使△PBC为等边三角形？若存在，请求初此时m的值；若不存在，请说明理由。
（3）当m为何值时，圆O上存在一点M和PB构成等腰三角形

Answer 1

（1）连接OB，则△PAB是直角三角形，所以PO的平方=PB的平方+OB的平方
所以（m+2）^2 = 2^2 + 4^2 , 解得，m =2+2根5.
（2）存在这样的点C，使△PBC为等边三角形，点c也是切点，且角CAB=60度。
由圆的性质可知 角BAO=30度，所以PO=2OB，所以PA=m=r=2
（3）若在圆上存在一点M，与PB构成等腰三角形 ，则此点一定在PB的垂直平分线上，取PB中点E，当过E点且垂直PB的直线EM与圆的交点就是符合条件的点。令EM与圆只有一个交点，交点为M，则EM为圆O的切线，所以EM=EB=n/2， 令EM交PO于D，则△PED相似△PBO 且相似比为2，所以ED=r/2 =1
PD=PO/2 = （m+2）/2 所以有 PD^2 =PE^2 +ED^2 , 所以有 1+（n/2）^2=(m+2)^2 / 4 , m= 根号下（4+n^2) -2 ,所以当0<m<根号下（4+n^2) -2 时，在圆上存在一点M和PB构成等腰三角形。

Answer 2

角A=30°
所以角COB等于60度
过O作CD⊥CB于D
所以角1=1/2角COB=30度 CD=1/2CB=1
所以CO=2
所以半径是2