Question

y=㏒2(-x²+4x)的定义域值域和单调性

Answer 1

定义域：
-x^2+4x>0
x^2-4x<0
x(x-4)<0
0<x<4
即定义域是（0，4）
又g(x)=-x^2+4x=-(x-2)^2+4,开口向下，对称轴是x=2
故0<g(x)<=4.
所以，值域是（-无穷，log2 4],即（-无穷，2]
增区间（0，2]
减区间[2，4）

Answer 2

对数函数真数要大于零，所以
-x²+4x＞0，解得0＜x＜4

y=㏒2(-x²+4x)=log2 -（x²-4x+4-4）=log2 -（x-2）²+4
真数范围为（0,4），所以值域为（-∞，2]

对y求导，y′=（2x+4）/（-x²+4x）ln2
当y′＞0时，函数递增。即（2x+4）/（-x²+4x）ln2＞0 因为ln2＞0，所以有
（2x+4）/（-x²+4x）＞0，解得（-∞，-2）∪（0,4）
当y′＜0时，函数递减。即（2x+4）/（-x²+4x）ln2＜0 因为ln2＞0，所以有
（2x+4）/（-x²+4x）＜0，解得（-2，0）∪（4，+∞）

Answer 3

由题意-x²+4x＞0，解得0＜x＜4
∴定义域（0，4）
∵-x²+4x≤4
∴y=㏒2（-x²+4x）≤2
∴值域（-∞，2）

函数在（0，2]上单调递减，在[2，4）单调递增