Question

若关于x的实系数方程x^2+ax+b=0有两个根，一个根在区间（0，1）内，另一根在区间（1，3）内，记点（a，b）

若关于x的实系数方程x^2+ax+b=0有两个根，一个根在区间（0，1）内，另一根在区间（1，3）内，记点（a，b）对应的区域为S.设z=2a-b,求z的取值范围

Answer 1

解：方程x2+ax+b=0的两根在区间（0，1）和（1，3）上的几何意义是：
函数y=f（x）=x2+ax+b与x轴的两个交点的横坐标分别在区间（0，1）和（1，3）内，
由此可得不等式组
f(0)＞0 f(1)＜0 f(3)＞0 ，即 b＞0 a+b+1＜0 3a+b+9＞0 ，
则在坐标平面aOb内，点（a，b）对应的区域S如图阴影部分所示，
易得图中A，B，C三点的坐标分别为（-4，3），（-3，0），（-1，0），（4分）
（1）令z=2a-b，则直线b=2a-z经过点A时z取到下边界-11，经过点C时z取到上边界-2，
又A，B，C三点的值没有取到，所以-11＜z＜-2；（8分）
（2）过点（-5，1）的光线经x轴反射后的光线必过点（-5，-1），由图可知
可能满足条件的整点为（-3，1），（-3，2），（-2，2），（-2，1），
再结合不等式知点（-3，1）符合条件，所以此时直线方程为：y+1=1-(-1)/ -3-(-5) -（x+5），
即y=x+4 （12分）

Answer 2

解：设f(x)=x²+ax+b由函数图象可以知道：f(0)>0,f(1)<0,f(3)>0三者同时成立，求解得
b>0
a+b+1<0
3a+b+9>0
由线性规划的知识画出可行域：
以a为横轴，b纵轴，再以z=2a-b为目标，
当a=-1,b=0时，zmax=-2
当a=-4,b=3时，zmin=-11
由题目，不能取边界，知道z∈（-11,-2）