Question

方程组 求解

(x^2+y^2)^0.5-[x^2+(Ly-y)^2]^0.5=t1*v
(x^2+y^2)^0.5-[y^2+(Lx-x)^2]^0.5=t2*v
求x y的代数表达式，其他t1 t2 Lx Ly v 都为常量
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Answer 1

将直角坐标转化为极坐标

设 x=rcosa y=rsina (0<=a<π)
△t1×V=r-√r²-2Ly×rsina (1)
△t2×V=r-√r²-2Lx×rcosa (2)

将(1)化简得
r²-2Ly×rsina=(r-△t1×V)²
rsina=(r²-(r-△t1×V)²)/(2Ly)
rsina=(r²-r²+2r△t1×V-(△t1×V)²)/(2Ly)
rsina=△t1×V(2r-△t1×V)/(2Ly) (3)
将(2)化简得
r²-2Lx×rcosa=(r-△t2×V)²
rcosa=(r²-(r-△t2×V)²)/(2Lx)
rcosa=(r²-r²+2r△t2×V-(△t2×V)²)/(2Lx)
rcosa=△t2×V(2r-△t2×V)/(2Lx) (4)

由(3)²+(4)²得

(rsina)²+(rcosa)² = (△t1×V(2r-△t1×V)/(2Ly))²+(△t2×V(2r-△t2×V)/(2Lx))²
r²= (△t1×V(2r-△t1×V)/(2Ly))²+(△t2×V(2r-△t2×V)/(2Lx))²

4Ly²Lx²r²=Lx²△t1²V²(4r²-4△t1Vr+△t1²V²)+Ly²△t2²V²(4r²-4△t2Vr+△t2²V²)

解出 r 的一元二次方程
取r>0的解
然后分别代入（1），（2）求得x,y