Question

高一函数问题

函数f(x)对任意实数x,y都满足f(x)+f(y)=f(x+y)+2,且x>0时,f(x)>2
1、求证：f(x)在R上是增函数
2.f(3)=5时，解不等式f(a^2-2a-2)<3

Answer 1

(1)
for y > x
y = x + c ( where c > 0 )
f(y) = f(x+c)
= f(x) + f(c) - 2
> f(x) ( f(c) > 2 )

f(x)在R上是增函数

(2)
f(3) = 5
f(2+1 ) = f(2) + f(1) - 2
f(2) + f(1) = 7 (1)

f(2) = f(1) + f(1) -2
f(2) = 2 f(1) -2 (2)

from (1) and (2)
2f(1) -2 + f(1) = 7
3f(1) = 9
f(1) = 3

f(a^2-2a-2)<3
f(a^2-2a-2)<f(1)
=> a^2-2a-2 <1
a^2-2a -3 <0
(a-3)(a+1)< 0
-1 <a < 3

Answer 2

f(x)+f(y)=f(x+y)+2
f(x+y)=f(x)+f(y)-2

（1）
设x2＞x1
f（x2）-f(x1)=f(x2-x1+x1)-f(x1)
=f(x2-x1）+f(x1)-2-f(x1)
=f(x2-x1)-2
因为x2＞x1，所以x2-x1＞0，所以f(x2-x1)＞2
即f(x2-x1)-2＞0
f（x2）-f(x1)＞0
所以f(x)在R上是增函数

（2）
应该是f(3)=4
f(3)=f(1.5+1.5)=f(1.5)+f(1.5)-2=4
解得f(1.5)=3
f(a^2-2a-2)<3=f(1.5)
因为f(x)在R上是增函数
所以a^2-2a-2＜1.5
解方程即可