Question

高数格林公式问题

设曲线 L为闭曲线|x|+|y|=2,取逆时针方向,,则 ∮L（axdy-bydx）/（|x|+|y|）=

Answer 1

格林公式要求被积函数P,Q在区域内连续，而且一届偏导数也要连续。L围成的区域D包含原点，显然连续性是不满足的。所以不能用Green公式。但是把原点挖掉后，就连续了。所有可以以原点为圆心做一个充分小的圆O，在D\O上用格林公式（变成求二重积分）求出值（设为J）。当然，根据格林公式，这样算出来的J是沿路径L以及O的边界的线积分，多了O的这部分。所以还要单独算出沿O的边界的线积分，用J减它就可以了。
当然，计算过程中有方向的问题，就不细说了。
这是一个经典的题目，一般的高数书在这一节都会有类似的例题。看课本定理的时候别只看结论或者公式，要注意他成立的条件，要把基本概念和定理搞清楚。
随便找了一下，可以参考http://wenku.baidu.com/view/9660386aaf1ffc4ffe47ac5c.html 里面的例3.体会一下包含和不包含原点的不同。

追问

这个题在挖掉原点的时候可以挖掉圆吗？被积函数分母部分没有平方，不适合用圆替换，另外请教一下，挖掉原点有什么常用方法，只能挖掉圆吗？