已知a>0,b>0,且a+b=1,试用分析法证明不等式(a+1/a)(b+1/b)≥25/4
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由均值不等式
a+b≥2√ab
ab≤1/4
证法一
(a+1/a)(b+1/b)
=(a^2+1)/a*(b^2+1)/b
=(a^2b^2+a^2+1+b^2)/ab
=[a^2b^2+(a+b)^2-2ab+1]/ab
=[a^2b^2+(1-2ab)+1]/ab
=[(ab-1)^2+1]/ab
(ab-1)^2+1≥25/16
0<ab≤1/4
(a+1/a)(b+1/b)≥25/4得证
取等号时a=b=1/2
证法二
(a+1/a)(b+1/b)
=ab+1/ab+a/b+b/a
[均值不等式]
≥ab+1/ab+2
[f(x)=x+1/x在x∈(0,1]上单调递减]
≥1/4+1/(1/4)+2
=25/4
取等号时a=b=1/2
（转）
a+b≥2√ab
ab≤1/4
证法一
(a+1/a)(b+1/b)
=(a^2+1)/a*(b^2+1)/b
=(a^2b^2+a^2+1+b^2)/ab
=[a^2b^2+(a+b)^2-2ab+1]/ab
=[a^2b^2+(1-2ab)+1]/ab
=[(ab-1)^2+1]/ab
(ab-1)^2+1≥25/16
0<ab≤1/4
(a+1/a)(b+1/b)≥25/4得证
取等号时a=b=1/2
证法二
(a+1/a)(b+1/b)
=ab+1/ab+a/b+b/a
[均值不等式]
≥ab+1/ab+2
[f(x)=x+1/x在x∈(0,1]上单调递减]
≥1/4+1/(1/4)+2
=25/4
取等号时a=b=1/2
（转）
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追问
是求证大于等于25/4.不是求a,b啊
追答
对的呀，是当a=b=1/2时，取到等号
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