Question

已知a>0,b>0,且a+b=1, 试用分析法证明不等式(a+1/a)(b+1/b)大于等于25/4

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Answer 1

(＊)←[a²＋1][b²＋1]≥(25/4)ab←a²b²＋a²＋b²＋1≥(25/4)ab←a²b²＋(a＋b)²＋1≥(33/4)ab←a²b²－(33/4)ab＋2≥0←4(ab)²－33ab＋8≥0←(4ab－1)(ab－8)≥0
由1=a＋b≥2√ab，则ab≤1/4，从而4ab－1≤0且ab－8≤0，从而(4ab－1)(ab－8)≥0。从而原不等式成立。