Question

已知实数a、b、c、d互不相等，且a+ 1/b=b+ 1/c=c+ 1/d=d+ 1/a.求abc

已知实数a、b、c、d互不相等，且a+ 1/b=b+ 1/c=c+ 1/d=d+ 1/a.求abcd的值。

Answer 1

实数a、b、c、d互不相等，且a+ 1/b=b+ 1/c=c+ 1/d=d+ 1/a,设为t,则
a=t-1/b=(bt-1)/b,
d=t-1/a=t-b/(bt-1)=(bt^2-t-b)/(bt-1),
c=t-1/d=t-(bt-1)/(bt^2-t-b)=(bt^3-t^2-2bt+1)/(bt^2-t-b),
b=t-1/c=t-(bt^2-t-b)/(bt^3-t^2-2bt+1)=(bt^4-t^3-3bt^2+2t+b)/(bt^3-t^2-2bt+1),
∴bt^4-t^3-3bt^2+2t+b=b^2*t^3-bt^2-2b^2*t+b,
∴bt^4-(b^2+1)t^3-2bt^2+2(b^2+1)t=0,
∴t(bt-b^2-1)(t^2-2)=0,
解得t1=0,t2=b+1/b,t3=√2，t4=-√2.
1)t1=0时a+ 1/b=b+ 1/c=0，
a=-1/b,b=-1/c,
∴a=c,舍
2)t2=b+1/b时a+ 1/b=b+1/b,a=b,舍.
3)t3=√2时a+ 1/b=b+ 1/c=c+ 1/d=d+ 1/a=√2,
d=√2-1/a=(a√2-1)/a,
c=√2-1/d=√2-a/(a√2-1)=(a-√2)/(a√2-1),
b=√2-1/c=√2-(a√2-1)/(a-√2)=1/(√2-a),
∴abcd=-1,
4)t4=-√2时a+ 1/b=b+ 1/c=c+ 1/d=d+ 1/a=-√2，
剩下部分留给您练习。

Answer 2

唔..其实我不知道答案但是从别的地方见过这个题目，复制给你参考一下，如果有认真的人帮你解答了就采纳他的吧

首先有个思路，就是把1折成两个分子是1的真分数，那就必须是
1=1/2+1/2
然后把1/2折成两个两个分子是1的真分数
有两种方法，
1/2=1/4+1/4
1/2=1/3+1/6(这一种更普遍)，于是
1=1/2+1/2=1/2+1/4+1/4或1=1/2+1/2=1/2+1/3+1/6
再拆1/4=1/5+1/20
1/3=1/4+1/12=1/6+1/9(第一种注意1/n=1/(n+1)+1/n(n+1)，第二种6、9都是3的倍数)
1/6=1/7+1/42=1/12+1/18=1/8+1/24
故1=1/2+1/4+1/5+1/20
=1/2+1/4+1/12+1/6
=1/2+1/3+1/7+1/42
=1/2+1/3+1/12+1/18
=1/2+1/3+1/8+1/24
都写出来是为了让你看清楚以总结规律。

原网址如下：http://zhidao.baidu.com/link?url=Ux9eTZROjJg7MpwoJlIKERNqwaOV0FkyzqH4OpM47uLc2UO6pB7MZuRFkvApW_JbzSogz-931M64mq1hwc8su_