Question

如图，三角形acb和三角形ecd都是等腰直角三角形，三角形acb的顶点a在三角形ecd的斜边的de

如图，三角形acb和三角形ecd都是等腰直角三角形，三角形acb的顶点a在三角形ecd的斜边的de上，求证：AE的平方+AD的平方=2AC的平方，（提示：连接bd）

Answer 1

证明：连接DB
1，在等腰直角⊿ABC和⊿BDC中
∵∠ECD=∠ACB=90°
且∠E=45°（等腰直角三角形的锐角为45度）
∴∠ACE=∠DCB(等量减去等量差相等)
∵EC=DC，AC=BC（等腰直角三角形的腰相等）
∴⊿AEC≌⊿BDC（两边和夹角对应相等，两三角形全等）
∴AE=BD（全等三角形的对应边相等）……1
且∠E=∠CDB=45°（全等三角形的对应角相等）
2，在⊿ADB中
∵∠EDC=45°（等腰直角三角形的锐角为45度）
∴∠ADC=90°即：⊿ADB是直角三角形
∴BD²+AD²=AB²……2
由1和2得：AE²+AD²=AB²……3
3，在等腰直角⊿ABC中
∵AB²=AC²+BC²=2AC²……4
由3和4得：BD²+AD²=2AC²

Answer 2

证明：连结BD

∵△DEC与△ABC都是等腰直角三角形

∴∠ECD=∠ACB，EC=DC，AC=BC，∠E=∠EDC=45°

∴∠ECA=∠DCB

∴△ECA≌△DCB

∴AE=BD，∠E=∠BDC=45°

∴∠ADB=90°

∴BD²+AD²=AB²

∴AE²+AD²=AB²=AC²+BC²=2AC²

三角形角的性质：

1、在平面上三角形的内角和等于180°（内角和定理）。

2、在平面上三角形的外角和等于360° (外角和定理)。

3、在平面上三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和。

4、一个三角形的三个内角中最少有两个锐角。

5、在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度。

6、 在一个直角三角形中，若一个角等于30度，则30度角所对的直角边是斜边的一半。