Question

用 拉格朗日数乘法 解答

欲造一个无盖长方体容器,已知底部造价为每平方米3元,侧面造价为每平方米1元,现想利用36元造一个容积最大的容器,试求其尺寸

Answer 1

设 长为x，宽为y，高为z， 则 容积为 xyz， 造价 3xy+2xz+2yz=36
构造拉格朗日函数 L=xyz+λ(3xy+2xz+2yz-36),
L'<x>=0, yz+λ(3y+2z)=0, ①
L'<y>=0, xz+λ(3x+2z)=0, ②
L'<z.>=0, xy+λ(2x+2y)=0, ③
L'<λ>=0, 3xy+2xz+2yz=36 ④
①-②, 可得 y=x, 代入③，得λ=-x/4，代入②，得 z=3x/2，
都代入④，得 9x^2=36, 则 x=2, y=2, z=3.