Question

已知函数f(x)=√3sinωxcosωx+cos²ωx,x∈R,ω>0，（1）求函数f(x)的值域；

⑵若函数f(x)的最小正周期为π/2，则当x∈[0，π/2]时，求f(x)的单调递减区间。
求详解，要步骤。谢谢。

Answer 1

f(x)=√3sinωxcosωx+cos²ωx
=√3/2*2sinωxcosωx+cos²ωx
=√3/2*sin2ωx+(cos2ωx+1)/2........正弦二倍角，余弦二倍角
=√3/2*sin2ωx+1/2*cos2ωx+1/2
=sin(2ωx+π/6)+1/2
最大值=1+1/2=3/2
最小值=-1+1/2=-1/2
值域是[-1/2,3/2]
(2)最小正周期为π/2=2π/2ω
∴ω=2
f(x)=sin(4x+π/6)+1/2
x∈[0，π/2]

4x+π/6∈[π/6，13π/6]
sinX在[π/2,3π/2]上是减函数
∴4x+π/6∈[π/2,3π/2]
x∈[π/12,π/3]
f(x)减区间是[π/12,π/3]

Answer 2

解1由f(x)=√3sinωxcosωx+cos^2(ωx)
=√3/2×2sinωxcosωx+[cos（2ωx)+1]/2
=√3/2×sin2ωx+1/2×cos（2ωx)+1/2
=sin（2ωx+π/6)+1/2
由-1≤sin（2ωx+π/6)≤1
即-1/2≤sin（2ωx+π/6)+1/2≤3/2
即-1/2≤f（x）≤3/2
故函数f(x)的值域[-1/2,3/2].
2由函数f(x)的最小正周期为π/2

即T=2π/2w=π/2
解得w=2
故f(x)=sin（4x+π/6)+1/2
由x∈[0，π/2]

则4x∈[0，2π]

即4x+π/6∈[π/6，13π/6]
即π/2≤4x+π/6≤3π/2时，y=f（x）是减函数
即π/12≤x≤π/3时，y=f（x）是减函数
故f(x)的单调递减区间[π/12,π/3]。