Question

已知二次函数y=x^2-2(m-1)x+m^2-2证明:不论m为何值,二次函数图象的顶点均在同一直线上,并求出函数解析式;

已知二次函数y=x^2-2(m-1)x+m^2-2
（1）证明:不论m为何值,二次函数图象的顶点均在同一直线上,并求出此图象的函数解析式;
（2）若二次函数图象在x轴上截得的线段长为4，求出此二次函数的解析式．

Answer 1

解：（1）二次函数的顶点坐标为（m－1，2m－3），
顶点坐标在某一函数的图象上，
即横坐标为x=m－1，
纵坐标为y=2m－3=2（m－1）－1＝2x－1，
故不论m为何值，二次函数的顶点都在直线y＝2x－1上；
（2）设二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），
由已知|x2－x1|=4
再利用根与系数的关系得，
x1＋x2＝2﹙m－1﹚，
x1·x2＝m²－2，
﹙x2－x1﹚²＝﹙x1＋x2﹚²－4x1x2，
即16＝4﹙m－1﹚²－4﹙m²－2﹚，
解得m=﹣1/2，
所以所求二次函数的解析式为y＝x²＋3x－7/4。