Question

已知函数f(x)=x^1/2在x=1/4处的切线为L，函数g(x)=kx+m(m>=0)的图象与L平行,若不等式|f(x)-mg(x)|<=|f(x)|

已知函数f(x)=x^1/2在x=1/4处的切线为L，函数g(x)=kx+m(m>=0)的图象与L平行,若不等式|f(x)-mg(x)|<=|f(x)|对x属于[1，4]恒成立，求m的取值区间M

Answer 1

解：f′(x)=0.5x^ -½,代入x=1/4，得L斜率=1，
g(x)与L平行，∴k=1
|f(x)-mg(x)|≤|f(x)|
即| x½-m(x+m)|≤| x½|
当x=1时，有| 1-m(x+m)|≤1 即±（1-m-m ²）≤1 （m≥0）
解得：0≤m≤1 ①
当x=4时，有|2-m(x+m)|≤2 即±（2-m-m ²）≤2 （m≥0）
解得：0≤m≤（√5-1）/2 ②
∵x∈[1,4]恒成立，∴m必须均满足①②，有0≤m≤（√5-1）/2
m∈M=｛m|0≤m≤（√5-1）/2｝

Answer 2

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