Question

如图①，正方形ABCD中对角线AC、BD相交于O，E为AC上一点，AM⊥EB于M，AM交BD于F。

（1）说明OE=OF的道理；
（2）在（1）中，若E在AC的延长线上，AM⊥EB交EB的延长线于M，AM、DB的延长线交于F，其他条件不变，如图②，则结论“OE=OF”还成立吗？请说明理由。好的加分！

Answer 1

(1)∵ AM⊥EB ∠AMB=90°,正方形ABCD中对角线AC、BD相交于O,∠AOB=90°
∠AFO= ∠BFM ∴△BFM∽△ FAO ∴ ∠FAO= ∠FBM ∵AO=BO ∠AOB= ∠BOE
∴△AFO≌△ BOE ∴ OE=OF
(2)∵ AM⊥EB ∠FMB=90° ∴△BFM∽△ BOE ∴ ∠F= ∠E ∴ ∠AOF= ∠BOE ∴△AOF≌△ BOE ∴ OE=OF

Answer 2

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形．
∴∠BOE=∠AOF=90°，OB=OA．
又∵AM⊥BE，∴∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE，
∴∠MEA=∠AFO．
∴Rt△BOE≌Rt△AOF．
∴OE=OF．

（2）解：OE=OF成立．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOE=∠AOF=90°，OB=OA．
又∵AM⊥BE，
∴∠F+∠MBF=90°，
∠E+∠OBE=90°，
又∵∠MBF=∠OBE，
∴∠F=∠E．
∴Rt△BOE≌Rt△AOF．
∴OE=OF．