Question

线性代数有关秩的证明题

设A是一个m×n矩阵，B是m阶方阵，C是n阶方阵，求证，若B与C都是非奇异矩阵，则r(BA)=r(A)=r(AC),

Answer 1

r(A)≤n-k
∴Ax=0的基础解系中含有的线性无关的解向量的个数
m=n-r(A)≥k
从基础解系中选取k个，
ξ1，ξ2，ξ3，……，ξk，
记B=(ξ1，ξ2，ξ3，……，ξk)
则r(B)=k，
且AB=O

Answer 2

一个矩阵左乘或右乘一个非奇异矩阵就相当于对该矩阵作出等行列变换，当然不改变秩。

Answer 3

AA*=|A|E
1.如果
r(A)=n，则|A|≠0
|A*|≠0
所以
A*可逆。r(A*)=n
2.
r(A)=n-1时
|A|=0，所以AA*=O
r(A)+r(A*)<=n
r(A*)<=1
而r(A)=n-1，所以
A中必有一个n-1阶子式≠0
所以r(A*)>=1
所以
r(A*)=1
3.
r(A)<n-1，所以A的所有n-1阶子式都等于0
所以
A*=O
即r(A*)=0