Question

解析几何问题

已知双曲线C;x²/a²-y²/b²=1（a＞0，b＞0）的右焦点为点F，过F且斜率 为√3的直线交C于AB两点，若AF=4FB，则C的离心率为多少？

Answer 1

此题中，A、B两点应为与双曲线右支相交的两点才可解。
（解法类似于下面这个题：已知直线y=k(x+2) (k＞0）与抛物线C:y²=8x相较于A、B两点，F为C的焦点。FA=2FB，则K的值为多少？)
设双曲线的准线为l. 设|FB|=m,则|FA|=4m.
过A、B两点向准线l作垂线AC、BD,,
由双曲线第二定义知：|AC|=1/e|FA|=4m/e, |BD|=1/e |FB|=m/e
（e为双曲线的离心率）,
过B作BE⊥AC,E为垂足。
|AE|=|AC|-|CE|=1/e |AC|-1/e |BD|=4m/e - m/e = 3m/e .
|AB|=|FA|+|FB|=5m.
直线的斜率k= tan∠AFx= tan∠BAE=√3.
∠BAE=60°，则|AB|=2|AE|，
5m=2 ×3m/e，
所以e=6/5.