Question

解析几何问题

如图正方形ABCD中 E是BC的中点 EF⊥AE交∠DCE外角的角平分线于F

（1）求证AE=EF

（2）当E是BC上任意一点，而其他条件不变 AE=EF是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立 请说明理由
其中FH是我想添的辅助线和数字角度是我加的 不知道能不能解决问题
我的想法是证明△ABE全等与△EFH 但是我找不到边的关系

Answer 1

ychua51 ，你好：
事实上，你的想法很好，是成功的，便不是用全等。
1，证明，因为角DCG=90，故角DCF=角FCG=45度，过F点分别作FH垂直于CG交于H，FM垂直于CD交于M，那么由角平分线定理，有FM=FH,另外由45度，等腰RT三角形FHC中，FM=FH=CH=CM=1/2CD=BE，这就是关系，然后，在RTABE 与RT EHF中，用全等证得AE=EF.
2,不成立，不妨用极限的思维来考虑，当E快接近C点时，F点奖在很远处，而AE仍然是固定的接近于根号2 *AB。

Answer 2

(1)设正方形边长为s，那么角BAE=角FEH，它们正切值相等，于是FH/EH=1/2，设FH=x=CH，所以x/(x+s/2)=1/2解得x=s/2，所以FH=s/2=BE,EH=s=AB，斜边当然相等啦；
(2)设BE=y，角BAE=角FEH，它们正切值相等，于是BE/AB=FH/EH,y/s=x/(x+s-y)，这个解出来得到x=y，也就是说FH=BE进一步就知道EH=s=AB，两个三角形全等，所以AE=EF。