Question

f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且f(x/y)=f(x)-f(y)

求f(1)的值
若f(6)=1,解不等式f(x+3)-f(1/x)<2

Answer 1

令x=y得f(1)=0

∵f(x/y)=f(x)-f(y)
∴f(1/6)=f(1)-f(6)=0-1=-1
∴2=1-(-1)=f(6)-f(1/6)=f(36)
不等式f(x+3)-f(1/3)<2

等价于f[3(x+3)]<f(36)
定义域:x+3>0，x>-3
∵f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数
∴3(x+3)<36
∴x<9
综上，不等式的解为
-3<x<9

Answer 2

第一个题令x=y得f(1)=0,第二个题的思路我说一哈，具体的算不算了，思路是把不等式右边的2看成1+1，把其中一个1移动不等式的左边，然后把1代换成f（6），那么左边的式子就可以变成f（x*（x+3）/6）,由于f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数，所有一定有0<x*（x+3）/6<6，解出来就是了。

Answer 3

由题目条件

f(1) = f(1/1) = f(1) - f(1) =0

逆用已知条件

f(x+3) - f(1/x)= f((x+3)/(1/x))=f(x^2 + 3x)
题目不等式

f(x^2 + 3x) < 2

所以 f(x^2 + 3x) - f(6) < 2-1

所以 f((x^2+3x)/6) < f(6)

又f(x)是增函数,所以

x^2+3x
---------- < 6
6

即 x^2 +3x -36 <0

3+√153 √153 - 3
解得 - ------------ < x < ---------------
2 2

【中学数理化解答团】