Question

椭圆两个焦点为F1（-c，0）和F2（c，0），p为椭圆上一点且PF1�6�1PF2=c平方，问椭圆离心率

Answer 1

解：由题意可知：|F1F2|=2c,|PF1|+|PF2|=2a,
向量的数量积：PF1*PF2=|PF1|*|PF2|cos∠P=c�0�5
在△PF1F2中，由余弦定理可得：
|F1F2|�0�5=|PF1|�0�5+|PF2|�0�5-2|PF1|*|PF2|cos∠P
所以：(2c)�0�5=|PF1|�0�5+|PF2|�0�5-2c�0�5
即：|PF1|�0�5+|PF2|�0�5=6c�0�5
又由均值定理知：|PF1|�0�5+|PF2|�0�5 ≥ (|PF1|+|PF2|)�0�5/2=2a�0�5
所以：6c�0�5≥2a�0�5
即：c�0�5/a�0�5≥1/3
解得：c/a≥√3/3
所以：该椭圆的离心率e＝c/a的取值范围是[√3/3,1)
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