Question

如图1，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm．点P由B出发沿BA方向向点A

如图1，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm．点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．以AQ、PQ为边作平行四边形AQPD，连接DQ，交AB于点E．设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤4）．解答下列问题： （1）用含有t的代数式表示AE=5-t． （2）当t为何值时，平行四边形AQPD为矩形． （3）如图2，当t为何值时，平行四边形AQPD为菱形．

Answer 1

解：
∵△ABC是Rt△，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm
∴AB=10cm（勾股定理）
（1）

因为点P的速度是2cm/s，∴AP=10-2t
∵四边形AQPD是平行四边形
∴AE=5-t（平行四边形对角线互相平分）
（2）
当PQ⊥AC时，平行四边形AQPD为矩形
此时PQ//BC，AQ/AC=AP/AB
即2t/8=（10-2t）/10
解得：t=20/9（秒）
（3）当AQ=PQ时，四边形AQPD为菱形，
此时：QD⊥AB，△AQE∽△ABC
∴AQ/AB=AE/AC
2t/10=（5-t）/8

解得：t=25/13（秒）

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Answer 2

（1）∵rt△abc中，∠c=90°，ac=8cm，bc=6cm．
∴由勾股定理得：ab=10cm，
∵点p由b出发沿ba方向向点a匀速运动，速度均为2cm/s，
∴bp=2tcm，
∴ap=ab-bp=10-2t，
∵四边形aqpd为平行四边形，
∴ae=
1
2
ap=5-t；
（2）当?aqpd是矩形时，pq⊥ac，
∴pq∥bc，
∴△apq∽△abc
∴
qa
ap
＝
ac
ab
即
2t
10?2t
＝
8
10
解之 t=
20
9
∴当t=
20
9
时，?aqpd是矩形；
（3）当?aqpd是菱形时，dq⊥ap，
则 cos∠bac=
ae
aq
=
ac
ab
即
5?t
2t
＝
4
5
解之 t=
25
13
∴当t=
25
13
时，□aqpd是菱形．