Question

如图1，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm．如果点P由B出发沿BA方向点A匀速运动，

如图1，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm．如果点P由B出发沿BA方向点A匀速运动，速度为2㎝/S,同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s．连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤4）．解答下列问题：
（4）如图2，把△AQP沿AP(或沿AC)翻折，得到四边形AQPQ′．那么是否存在某时刻t，使四边形AQPQ′为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：∵AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm， ∴由勾股定理逆定理得△ABC为直角三角形，∠C为直角． （1）BP=2t，则AP=10-2t． ∵PQ//BC， ∴AP/AB=PD/AC，即(10-2t)/10=2t/8 解得：t=20/9 ∴当t=20/9 s时，PQ//BC （2）如答图1所示，过P点作PD⊥AC于点D． ∴PD∥BC， ∴AP/AB=PD/BC 即(10-2t)/10=PD/6 解得PD=6-6t/5 ∴S=1/2×AQ×PD=1/2 ×2t× (6-6t/5)=-6t²/5+6t=-6/5×(t-5/2)²+15/2 ∴当t=5/2 s时，S有最大值 ，为15/2 cm² （ 3）假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分， 则有S△AQP=S△ABC/2 ， ∵S△ABC=1/2（AC×BC）=24 ∴S△AQP=12. ∵S△AQP=-6t²/5+6t ∴-6t²/5+6t=12 t²-5t+10=0 ∴△=(-5)²-4×1×10=-15＜0 ∴次方程误解 = = ∴不存在T ，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分． （4）假设存在时刻t，使四边形AQPQ′为菱形，则有AQ=PQ=BP=2t． 如答图2所示，过P点作PD⊥AC于点D，则有PD∥BC， ∴AP/AB=PD/BC=AD/AC, 即(10-2t)/10=PD/6=AD/8, 解得：PD=6-6t/5，AD=8-8t/5 ∴QD=AD-AQ=8-8t/5-2t=8-18t/5 在Rt△PQD中，由勾股定理得：QD²+PD²=PQ²， 即(8-18t/5)²+(6-6t/5)²=(2t)² 得：13t²-90t+125=0 解得：t1=5，t2=25/13 ∵t=5s时，AQ=10cm＞AC，不符合题意，舍去，∴t=25/13 ∵S△AQP=-6t²/5+6t ∴S◇AQPQ=2s△AQP=2×(-6t²/5+6t)=2×{-6/5×(25/13)²+6×(25/13)}=2400/169 cm² 所以存在时刻t，使四边形AQPQ′为菱形，此时菱形的面积为2400/169 cm²