Question

几道高二数学题，求助

设O是坐标原点，F是抛物线y^2=2px(p>0)的焦点，A是抛物线上的一点，向量FA与x轴正向的夹角为60°，则向量OA的模长？
已知F是抛物线C：y^2=4x的焦点，A,B是C上的两个点，线段AB的中点是M（2,2），则△ABF的面积？
已知抛物线y^2=4x,过点P（4,0）的直线与抛物线相较于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则y1^2+y2^2的最小值是？
要有过程的。。谢谢！！

Answer 1

（1）.
∵向量FA与x轴正向夹角为60°，
∴直线FA的斜率k=tan60°=√3，且A在F的右侧。
∴直线FA的方程是：y=√3(x-p/2)
将直线方程代入y²=2px
∴3(x-p/2)²=2px
∴3x²-3px+3p²/4 = 2px
∴ 12x²-20px+3p²=0
∴ (6x-p)(2x-3p)=0
∴ x=p/6或x=3p/2
∵ A在F右侧
∴ xA=3p/2, ∴ yA=√3p
∴ |OA|=√(9p²/4+3p²)=√(21p)/2
（2）
解：
F为抛物线C:y^2=4x的焦点，F（1，0），OF=1
AB的中点为M(2,2)
yA+yB=2yM=4
直线AB:y-2=k(x-2)
x=(y+2k-2)/k
y^2=4x=4*(y+2k-2)/k
ky^2-4y+8-8k=0
yA+yB=4/k
4/k=4
k=1
直线AB:y=x,经过原点O（0，0）
设xA=yA=0,xB=yB=4
方法一:
三角形ABF的面积=|OF|*|yB|/2=1*4/2=2
方法二:
AB=√(xB^2+yB^2)=√4^2+4^2)=4√2
点F(1,0)到直线AB的距离:L=1/√2
三角形ABF的面积=AB*L/2=4√2*(1/√2)/2=2
（3）
设过（4，0）的直线为 y=k(x-4),
联立y^2=4x
得(k^2)x^2-(8k^2+4)x+4k^2=0
于是y1^2+y2^2=4x1+4x2=4(x1+x2)=4(8k^2+4)/k^2=4(8+4/k^2)
=32+8/k^2.
显然，当K→∞,8/k^2→0,即当AB所在的直线⊥OX轴时Y1^2+Y2^2最小值是32