Question

一道关于线性代数的证明，跪求详细过程和解释，如图，谢谢！

谢谢！

Answer 1

因为AB=0，所以R(A)+R(B)≤n.................(1)
又因为R(B)=n
那么，0≤R(A)+n≤n
即，R(A)=0
因此，A=0
若，AB=B
移项，AB-B=0
即：(A-E)B=0
根据第一问，A-E=0
因此，A=E

(1)式的证明：
考虑两个线性空间：
(1) B的列空间，即B的各列向量张成的线性空间。它的维数即是B的列秩，等于B的秩，即R(B)。
(2) Ax=0的解空间，即Ax=0的所有解组成的线性空间。由基本定理，它的维数=n-R(A)。
现在有AB=0，所以B的各列向量均是Ax=0的解。这说明(1)是(2)的子空间，所以(1)的维数≤(2)的维数。得r(B)≤n-r(A)，即r(A)+r(B)≤n。
也可以这样看，
R(A)+R(B)≤R(AB)+n
而AB=0，即R(AB)=0，故(1)成立

有不懂欢迎追问