Question

设集合A={x｜x 2+2x-3＞0}，集合B={x｜x 2-2ax-1≤0，a＞0}．若A∩B中

设集合A={x｜x 2+2x-3＞0}，集合B={x｜x 2-2ax-1≤0，a＞0}．若A∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是多少！求详细的解题过程！

Answer 1

A={x|(x+3)(x-1)>0}={x|x>1或x<-3}
B={x|(x-a)^2<=1+a^2}={x|x1=<x<=x2)}, 这里x1=a-√(1+a^2), x2=a+√(1+a^2)
B的区间长度=2√(1+a^2)>=2, 且左端点x1<0, 右端点x2>1,并且有|x2|>|x1|
所以若A交B恰含有一个整数，则只能包含有x=2, 因为若包含x=-4的话，则x=4也会包含进去了。
因此有2=<x2<3
令f(x)=x^2-2ax-1, 则有f(2)<=0, 且f(3)>0
得：f(2)=3-4a<=0,得a>=3/4
f(3)=8-6a>0,得：a<4/3
所以a的取值范围是[3/4, 4/3)