Question

三角形ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，向量AN=xAB(向量）+yAC（向量）,x+y=

因B、M、C共线
则可令AM=mAB+(1-m)AC而N为AM中点
即AM=2AN
于是有2AN=mAB+(1-m)AC
即AN=(m/2)AB+[(1-m)/2]AC
又因AN=xAB+yAC
则有xAB+yAC=(m/2)AB+[(1-m)/2]AC
于是有
x=m/2
y=(1-m)/2
所以x+y=1/2 除了AM=mAB+(1-m)AC不明白外，其他都不用说，解释一下为什么AM=mAB+(1-m)AC

Answer 1

以下为了简便我省略向量符号
∵B,M,C三点共线
∴CM=mCB
AM-AC=mCB
AM=mCB+AC=m(AB-AC)+AC=mAB+AC-mAC=mAB+(1-m)AC
这是一个定理,逆定理也成立的,好好看书去吧.
二楼给的就是逆定理的证明过程

Answer 2

以下线段均表示向量
因B、M、C共线
则可令AM=mAB+(1-m)AC
而N为AM中点
即AM=2AN
于是有2AN=mAB+(1-m)AC
即AN=(m/2)AB+[(1-m)/2]AC
又因AN=xAB+yAC
则有xAB+yAC=(m/2)AB+[(1-m)/2]AC
于是有
x=m/2
y=(1-m)/2
所以x+y=1/2

追问

请不要复制我的答案好吗！！看完题目再说

Answer 3

这是三点共线的充要条件。
定理：P 在直线 AB 上的充要条件是：
对平面任一点 O ，存在实数 x、y 使 OP=xOA+yOB ，且 x+y=1 。
证明：（1）若 P 在直线 AB 上，则存在实数 x 使 BP=xBA ，
即 OP-OB=x(OA-OB) ，
所以 OP=xOA+(1-x)OB ，令 1-x=y ，
则 OP=xOA+yOB 。
（2）如果有实数 x、y 使 x+y=1 ，且 OP=xOA+yOB ，
则 OP=xOA+(1-x)OB ，
化为 OP-OB=x(OA-OB) ，
即 BP=xAB ，
所以 BP//AB ，由于 BP、AB 有公共点 B ，因此 B、P、A 三点共线。