Question

平行向量 在△ABC中，M是BC上任意一点，AM=xAB+yAC，为什么x+y=1？

很多题目这都是默认条件 但是为什么，我没弄懂，在线等！！拜托各位了。

Answer 1

这是一个定理，定理内容：M是BC上任意一点，A是BC外一点，则存在唯一的x、y，使得AM=xAB+yAC且x+y=1
证明：由向量分解定理，存在x、y使得AM=xAB+yAC，故x(AM-AB)+y(AM-AC)= (x+y-1)AM;
化简得：xBM+yCM= (x+y-1)AM
等式左侧向量方向沿BC方向，右侧方向沿AM方向；要使这两个向量相等，只有都等于0，故x+y=1
（注：AB AC AM BM CM都为向量）

追问

感谢你的答案。有个地方我还是存在疑惑。

等式左侧向量方向沿BC方向，右侧方向沿AM方向；要使这两个向量相等，只有都等于0。这个可以再进一步解释吗?

追答

向量相等的充分必要条件是：方向相同，且模相等。
就上述定理证明上而言，（反证）若等式两侧向量不为0的，由于M在BC上，故BM、CM、AC向量平行，故向量xBM+yCM与AC平行，又AM与AC不平行，故xBM+yCM与AM方向不同，故xBM+yCM= (x+y-1)AM等式不成立，矛盾。
注：0向量方向具有任意性