已知函数f(x)=lnx/x+1/x. 当x>=1时,不等式f(x)>=k/(x+1)恒成立,求实
已知函数f(x)=lnx/x+1/x.当x>=1时,不等式f(x)>=k/(x+1)恒成立,求实数K的取值范围....
已知函数f(x)=lnx/x+1/x.
当x>=1时,不等式f(x)>=k/(x+1)恒成立,求实数K的取值范围. 展开
当x>=1时,不等式f(x)>=k/(x+1)恒成立,求实数K的取值范围. 展开
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f(x)>=k/(x+1)变形得f(x)(x+1)>=k
得：（x+1）（lnx/x+1/x）=lnx+1+lnx/x+1/x 设为：g（x）
求导：得 1/x+(1-lnx)/x²-1/x²=（x-lnx）/x² 将分子设为h（x）因为分母大于0恒成立，所以讨论分子的正负性
求导得：1-1/x ∵x>=1∴1-1/x 大于0恒成立
∴h（x）为单增函数，最小值为h（1）=1∴g（x）的导函数恒大于0∴g（x）单增
所以g（x）的最小值为g（1）=2
∴k≥2
得：（x+1）（lnx/x+1/x）=lnx+1+lnx/x+1/x 设为：g（x）
求导：得 1/x+(1-lnx)/x²-1/x²=（x-lnx）/x² 将分子设为h（x）因为分母大于0恒成立，所以讨论分子的正负性
求导得：1-1/x ∵x>=1∴1-1/x 大于0恒成立
∴h（x）为单增函数，最小值为h（1）=1∴g（x）的导函数恒大于0∴g（x）单增
所以g（x）的最小值为g（1）=2
∴k≥2
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