Question

在等边三角形abc中,D是AB中点,E是BC上一点,以DE为边作等边三角形DEF,连接CF、AF

Answer 1

1.

连接CD，得△CDE。

在等边△ABC中，因为D为AB中点，所以CD平分∠ACB。∠DCE = ∠ACB/2 = 30°

过F，做FG垂直DE于G。

在等边△DEF中，因为FG垂直DE，因此FG为DE垂直平分线。

因为 F在DE垂直平分线上 且 ∠DCE = 30° = ∠DFE/2，所以F为CDE外接圆圆心。

(1. 同弦圆心角 = 圆周角的两倍  2. 外心为垂直平分线交点)

因为FE & FC 为圆F的半径，所以 FE = FC 

2.

过A & D 分别作AI & DH垂直BC，其垂足分别为I & H。

因为△ABC为等边三角形 且 AI⊥BC，所以AI垂直平分BC。 => BI = BC/2

因为 ∠ADF + 60° + ∠BDE = 180° (平角) & ∠BED + 60° + ∠BDE = 180° (△BDE内角和)，所以 ∠ADF = ∠BED。

因为 ∠ADF = ∠BED & ∠DAF = ∠DHE = 90° & DF = DE，所以△ADF ≌ △HED

=> HE = AD = AB/2 = BC/2

因为 DH⊥BC，AI⊥BC，因此DH ∥ AI。

△ABI中，因为D为AB中点，DH ∥ AI，所以BH = BI/2 = BC/4.

BC = CE + HE + BH = 1 + BC/2 + BC/4

BC = 4

BE = 4 - 1 = 3