Question

高中数学 判断零点个数

已知函数f（x)为定义在r上的奇函数，且当x>0时，f(x)=Inx+2x-6,试判断函数f(x)的零点个数

Answer 1

 

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Answer 2

答：
f(x)是定义在R上的奇函数，则有：
f(-x)=-f(x)
x=0时：f(0)=0

x>0时，f(x)=lnx+2x-6
求导：f'(x)=1/x+2>0
f(x)在x>0时是单调递增函数
f(0+)=lim(x→0+) lnx+2x-6= - ∞
f(+∞)=lim(x→+∞) lnx+2x-6=+∞
所以：f(x)在x>0时存在唯一的零点

根据奇函数的对称性知道，x<0时f(x)也存在唯一的零点

所以：f(x)在R上的零点个数为3个

Answer 3

首先，奇函数的定义可得：定义域为R或包括有x=0时，奇函数必过原点，f（0）=0
只要知道x＞0时，f（x）与x轴有多少个交点即可（关于零点对称）
f（x）的导数为F（x）=1/x+2
当x＞0时，F（x）恒大于0
故f（x）在（0，+∞）时，是增函数
当x无穷接近0时，lnx是接近-∞的，2x-6接近-6，故f（x）＜0
当x无穷接近﹢∞时，f（x）＞0
根据它的单调调增性，可以推出f（x）在（0，﹢∞）与x轴有一交点
而它是奇函数，可以推出f（x）在（-∞，0）与x轴有一交点
故f（x）在定义域R上有三个零点

Answer 4

显然lnx+2x-6是增函数
所以x>0时最多一个零点

f(2)=ln2-2<0
f(3)=ln3>0
所以(2,3)内有一个零点
假设f(a)=0
则f(-a)=-f(a)=0

奇函数则f(0)=0
所以一共3个

Answer 5

3 个