Question

数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．∠AEF=90°，且EF交正方形外

数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F，求证：AE=EF．

经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE＝EF．

在此基础上，同学们作了进一步的研究：

（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；

（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；

Answer 1

25．解：（1）正确． ……1分

证明：在AB上取一点M，使AM＝EC，连接ME．

∴BM＝BE．∴∠BME＝45°.∴∠AME＝135°．

∵CF是外角平分线，

∴∠DCF＝45°.∴∠ECF＝135°．

∴∠AME＝∠ECF． ……3分

∵∠AEB＋∠BAE＝90°，∠AEB＋CEF＝90°，

∴∠BAE＝∠CEF． ……5分

∴△AME≌△BCF（ASA）． ……6分

∴AE＝EF．

（2）正确． ……7分

证明：在BA的延长线上取一点N，使AN＝CE，连接NE．

∴BN＝BE． ……8分

∴∠N＝∠FCE＝45°. ……9分

四边形ABCD是正方形，

∴AD‖BE．

∴∠DAE＝∠BEA．

∴∠NAE＝∠CEF． ……10分

∴△ANE≌△ECF（ASA）． ……11分

∴AE＝EF． ……12分

Answer 2

解：（1）正确．理由如下：
证明：在BA延长线上取一点M，使AM＝EC，连接ME．

∴BM＝BE．∴∠BME＝45°.∴∠AME＝135°．

∵CF是外角平分线，

∴∠DCF＝45°.∴∠ECF＝135°．

∴∠AME＝∠ECF．
∵∠AEB＋∠BAE＝90°，∠AEB＋CEF＝90°，

∴∠BAE＝∠CEF．
∴△AME≌△BCF（ASA）．
∴AE＝EF．

（2）正确．理由如下：
证明：在BA的延长线上取一点N，使AN＝CE，连接NE．

∴BN＝BE．
∴∠N＝∠FCE＝45°.
四边形ABCD是正方形，

∴AD‖BE．

∴∠DAE＝∠BEA．

∴∠NAE＝∠CEF．
∴△ANE≌△ECF（ASA）．
∴AE＝EF．

Answer 3

答案：解：（1）正确
证明：在上取一点，使AM=EC，连接
∵AB=BC
∴BM=BE，∠BME=45°，∠AME=135°
∵CF是外角平分线
∴∠DCF=45°，∠ECF=135°
∴∠AME=∠ECF
∵∠AEF=90°
∴∠AEB+∠CEF=90°
又∵∠AEB+∠MAE=90°
∴∠MAE=∠CEF
在△AME与△ECF中
∴△AME≌△ECF（SAS）
∴AE=EF
（2）正确
证明：在的延长线上取一点．使AN=CE，连接NE
∵BA=BC
∴BN=BE
∴∠N=∠PCE=45°
∵四边形是正方形，
∴AD∥BE
∴∠DAE=∠BEA，
∵∠NAD=∠AEF=90°
∴∠NAE=∠CEF
在△ANE与△ECF中
∴△ANE≌△ECF（SAS）
∴AE=EF

Answer 4

25．解：（1）正确．
证明：在AB上取一点M，使AM＝EC，连接ME．

∴BM＝BE．∴∠BME＝45°.∴∠AME＝135°．

∵CF是外角平分线，

∴∠DCF＝45°.∴∠ECF＝135°．

∴∠AME＝∠ECF．
∵∠AEB＋∠BAE＝90°，∠AEB＋CEF＝90°，

∴∠BAE＝∠CEF．
∴△AME≌△BCF（ASA）．
∴AE＝EF．

（2）正确．
证明：在BA的延长线上取一点N，使AN＝CE，连接NE．

∴BN＝BE．
∴∠N＝∠FCE＝45°.
四边形ABCD是正方形，

∴AD‖BE．

∴∠DAE＝∠BEA．

∴∠NAE＝∠CEF．
∴△ANE≌△ECF（ASA）．
∴AE＝EF．

Answer 5

1）正确．
证明：在AB上取一点M，使AM＝EC，连接ME．

∴BM＝BE．∴∠BME＝45°.∴∠AME＝135°．

∵CF是外角平分线，

∴∠DCF＝45°.∴∠ECF＝135°．

∴∠AME＝∠ECF．
∵∠AEB＋∠BAE＝90°，∠AEB＋CEF＝90°，

∴∠BAE＝∠CEF．
∴△AME≌△BCF（ASA）．
∴AE＝EF．

（2）正确．
证明：在BA的延长线上取一点N，使AN＝CE，连接NE．

∴BN＝BE．
∴∠N＝∠FCE＝45°.
四边形ABCD是正方形，

∴AD‖BE．

∴∠DAE＝∠BEA．

∴∠NAE＝∠CEF．
∴△ANE≌△ECF（ASA）．