Question

过抛物线x^2=2py(p>0)的焦点F作倾斜角为30°的直线与抛物线分别交与AB两点，(A在y轴左侧)则|AF|/|FB|=?

Answer 1

过抛物线x^2=2py(p>0)的焦点F作倾斜角为30愕闹毕哂肱孜锵叻直鸾挥阶B两点，(A在y轴左侧)则|AF|/|FB|=?
设A(x1,y1) B(x2,y2).
AB的方程为:y=[(根号3)/3]x+p/2
焦点为(0,p/2). 准线方程为:y=-p/2
w自A,B分别向准线做垂线,交准线于C,D.
按定义知:|AF|=|AC|=y1+p/2=[(根号3)/3]x1+p,
|BF|=|BD|=y2+p/2=[(根号3)/3]x2+p, .
|AF|/|BF|={[(根号3)/3]x1+p}/{[(根号3)/3]x2+p} (1)
再求交点的横坐标,解方程:x^2=2p{[(根号3)/3]x+p/2}
即:x^2-2p[(根号3)/3]x-p^2=0
解得:x1=[(根号3)/3 -(2根号3)/3]p=-[(根号3)/3]p
x2=[(根号3)/3 +(2根号3)/3]p=(根号3)p
代入(1),得:
|AF|/|BF|=(-1/3+1)/(1+1)=1/3