Question

如图，已知等边△ABC的边长为8，P是△ABC内一点，PD ∥ AC，PE ∥ AD，PF ∥ BC，点D，E，F分别在AB，BC

如图，已知等边△ABC的边长为8，P是△ABC内一点，PD ∥ AC，PE ∥ AD，PF ∥ BC，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，则PD+PE+PF=______．

Answer 1

过E点作EG ∥ PD，过D点作DH ∥ PF，

∵PD ∥ AC，PE ∥ AD，

∴PD ∥ GE，PE ∥ DG，

∴四边形DGEP为平行四边形，

∴EG=DP，PE=GD，

又∵△ABC是等边三角形，EG ∥ AC，

△BEG为等边三角形，

∴EG=PD=GB，

同理可证：DH=PF=AD，

∴PD+PE+PF=BG+GD+AD=AB=8．

Answer 2

解:分别延长DP ,FP且分别交BC ,AB于M ,N
因为等边三角形ABC的边长为8
所以BC=8
角A=角B=角C=60度
因为PD平行AC
所以角A=角PDB=60度
角C=角PMB=60度
因为PF平行BC
所以角PND=角B=60度
四边形PMCF是平行四边形
所以PF=CM
因为PE平行AB
所以角B=角PEC=60度
四边形PNBE是平行四边形
所以PN=BE
因为角PEC+角PMB+角EPM=180度
所以角EPM=60度
所以角EPM=角PEC=角PEB=60度
所以三角形EPM是等边三角形
所以PE=ME
因为角PNB+角PND+角DPN=180度
所以角DPN=60度
所以角DPN=角PNB=角PND=60度
所以三角形PND是等边三角形
所以PD=PN=BE
因为BC=BE+ME+CM
所以BC=PD+PE+PF
所以PD+PE+PF=8