Question

如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转9

如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线 经过点A、B、C． （1）求抛物线的解析式；（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其坐标为t，①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当△CEF与△COD相似时，点P的坐标；②是否存在一点P，使△PCD得面积最大？若存在，求出△PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由．

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Answer 1

（1） （2）①P点的坐标为：（﹣1，4）或（﹣2，3）。 ②当t=﹣ 时，S △ PCD 的最大值为 。

分析：（1）先求出A、B、C的坐标，再运用待定系数法就可以直接求出二次函数的解析式。 （2）①由（1）的解析式可以求出抛物线的对称轴，分类讨论当∠CEF=90°时，当∠CFE=90°时，根据相似三角形的性质就可以求出P点的坐标。 ②先运用待定系数法求出直线CD的解析式，设PM与CD的交点为N，根据CD的解析式表示出点N的坐标，再根据S △ PCD =S △ PCN +S △ PDN 就可以表示出三角形PCD的面积，运用顶点式就可以求出结论。 解：（1）在Rt△AOB中，OA=1， ，∴OB=3OA=3．。 ∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°而得到的， ∴△DOC≌△AOB。∴OC=OB=3，OD=OA=1。 ∴A、B、C的坐标分别为（1，0），（0，3）（﹣3，0）． 代入解析式得 ，解得： 。 ∴抛物线的解析式为 。 （2）①∵ ，∴对称轴l为x=﹣1。 ∴E点的坐标为（﹣1，0）。 当∠CEF=90°时，△CEF∽△COD．此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点，P（﹣1，4）。 当∠CFE=90°时，△CFE∽△COD，过点P作PM⊥x轴于点M，则△EFC∽△EMP。 ∴ 。∴MP=3EM．。 ∵P的横坐标为t，∴P（t， ）。 ∵P在二象限，∴PM= ，EM= ， ∴ ，解得：t 1 =﹣2，t 2 =﹣3（与C重合，舍去）。 ∴t=﹣2时， 。 ∴P（﹣2，3）。 综上所述，当△CEF与△COD相似时，P点的坐标为：（﹣1，4）或（﹣2，3）。 ②设直线CD的解析式为y=kx+b，由题意，得 ，解得： 。 ∴直线CD的解析式为：y= x+1。 设PM与CD的交点为N，则点N的坐标为（t， t+1），∴NM= t+1。 ∴ 。 ∵S △ PCD =S △ PCN +S △ PDN ， ∴ 。 ∴当t=﹣ 时，S △ PCD 的最大值为 。