Question

设数列{a n }的前n项和为S n ，且满足S n =2-a n ，n=1，2，3，…．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）

设数列{a n }的前n项和为S n ，且满足S n =2-a n ，n=1，2，3，…．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b 1 =1，且b n+1 =b n +a n ，求数列{b n }的通项公式；（3）设c n =n （3-b n ），求数列{c n }的前n项和为T n ．

Answer 1

（1）因为n=1时，a 1 +S 1 =a 1 +a 1 =2，所以a 1 =1． 因为S n =2-a n ，即a n +S n =2，所以a n+1 +S n+1 =2． 两式相减：a n+1 -a n +S n+1 -S n =0，即a n+1 -a n +a n+1 =0，故有2a n+1 =a n ． 因为a n ≠0，所以 a n+1 a n = 1 2 （ n∈N * ）． 所以数列{a n }是首项a 1 =1，公比为 1 2 的等比数列，a n = ( 1 2 ) n-1 （ n∈N * ）． （2）因为b n+1 =b n +a n （ n=1，2，3，…），所以b n+1 -b n = ( 1 2 ) n-1 ．从而有b 2 -b 1 =1，b 3 -b 2 = 1 2 ，b 4 -b 3 = ( 1 2 ) 2 ，…，b n -b n-1 = ( 1 2 ) n-2 （ n=2，3，…）． 将这n-1个等式相加，得b n -b 1 =1+ 1 2 + ( 1 2 ) 2 +…+ ( 1 2 ) n-2 = 1- ( 1 2 ) n-1 1- 1 2 =2- 2( 1 2 ) n-1 ． 又因为b 1 =1，所以b n =3- 2( 1 2 ) n-1 （ n=1，2，3，…）． （3）因为c n =n （3-b n ）= 2n( 1 2 ) n-1 ， 所以T n = 2[ ( 1 2 ) 0 +2( 1 2 )+3 ( 1 2 ) 2 +…+(n-1) ( 1 2 ) n-2 +n ( 1 2 ) n-1 ] ．   ① 1 2 T n = 2[ ( 1 2 ) 1 +2 ( 1 2 ) 2 +3 ( 1 2 ) 3 +…+(n-1) ( 1 2 ) n-1 +n ( 1 2 ) n ] ．       ② ①-②，得 1 2 T n = 2[ ( 1 2 ) 0 +( 1 2 )+ ( 1 2 ) 2 +…+ ( 1 2 ) n-1 ] - 2n( 1 2 ) n ． 故T n = 4 1- ( 1 2 ) n 1- 1 2 - 4n( 1 2 ) n =8- 8 2 n - 4n( 1 2 ) n =8- (8+4n) 1 2 n （ n=1，2，3，…）．