Question

已知正项数列{a n }的前n项和为S n ，且满足S n +S n-1 = k a 2n +2（n≥2，n∈N*，k＞0），a 1

已知正项数列{a n }的前n项和为S n ，且满足S n +S n-1 = k a 2n +2（n≥2，n∈N*，k＞0），a 1 =1．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{ 1 a n a n+1 }的前n项和为T n ，是否存在常数k，使得T n ＜2对所有的n∈N*都成立？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵S n +S n-1 = k a 2n +2，∴S n+1 +S n = k a 2n+1 +2 两式相减可得（a n+1 +a n ）[ ( a n+1 - a n )- 1 k ]=0 ∵正项数列{a n }， ∴ a n+1 - a n = 1 k （n≥2） ∵S 2 +S 1 = k a 22 +2，a 1 =1 ∴ a 2 = 1 k ∴a n = 1，n=1 n-1 k ，n≥2 ； （2）由题意，T 1 =k， 当n≥2时， T n =k+ k 2 1×2 +…+ k 2 (n-1)n =k+ k 2 (1- 1 2 + 1 2 - 1 3 +…+ 1 n-1 - 1 n ) = k+ k 2 (1- 1 n ) ∵T n = k+ k 2 (1- 1 n ) ＜k+k 2 ∴使得T n ＜2对所有的n∈N * 都成立，只需要k+k 2 ≤2（k＞0）， ∴0＜k≤1．