Question

已知正项数列{a n }中，S n 是其前n项的和，且 2 S n = a n + 1 a n ，n∈N + ．（

已知正项数列{a n }中，S n 是其前n项的和，且 2 S n = a n + 1 a n ，n∈N + ．（Ⅰ）计算出a 1 ，a 2 ，a 3 ，然后猜想数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）用数学归纳法证明你的猜想．

Answer 1

（I）由于猜颤饥 2 S n = a n + 1 a n ? S n = 1 2 ( a n + 1 a n ) 当洞碰n=1时， a 1 = 1 2 ( a 1 + 1 a 1 ) ，可得a 1 =1， 当n=2时， a 1 + a 2 = 1 2 ( a 2 + 1 a 2 ) ，可得 a 2 = 2 -1 （a n ＞0）， 当n=3时， a 1 + a 2 + a 3 = 1 2 ( a 3 + 1 a 3 ) ，可得 a 3 = 3 - 2 （a n ＞0）， 猜想： a n = n - n-1 （n∈N + ） （II）证明：（1）当n=1时，已证． （2）假设n=k（k≥1）时， a k = k - k-1 成立，则当n=k+1时， a k+1 = S k+1 - S k = 1 2 ( a k+1 + 1 a k+1 )- 1 2 ( a k + 1 a k ) ， 即 a k+1 - 1 a k+1 =-( a k + 1 a k )=-( k - k-1 + 1 k - k-1 )=-2 k ， ∴ a k+1 = k+1 - k ． 由（穗返1）（2）可知对n∈N + ， a n = n - n-1 成立．