已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过C点的切线与AB的延长线交于点D，CE∥AB交⊙O于点E，连接AC
已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过C点的切线与AB的延长线交于点D，CE∥AB交⊙O于点E，连接AC、BC、AE．（1）求证：①∠DCB=∠CAB；②CD?...
已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过C点的切线与AB的延长线交于点D，CE∥AB交⊙O于点E，连接AC、BC、AE．（1）求证：①∠DCB=∠CAB；②CD?CE=CB?CA；（2）作CG⊥AB于点G．若tan∠CAB＝1k（k＞1），求ECGB的值（用含k的式子表示）．
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（1）证明：①如图1解法一：作直径CF，连接BF．
∴∠CBF=90°，
则∠CAB=∠F=90°-∠1．
∵CD切⊙O于C，
∴OC⊥CD，
则∠BCD=90°-∠1．
∴∠BCD=∠CAB．
解法二：如图2
连接OC．
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°．
则∠2=90°-∠OCB．
∵CD切⊙O于C，
∴OC⊥CD．
则∠BCD=90°-∠OCB．
∴∠BCD=∠2．
∵OA=OC，
∴∠2=∠CAB．
∴∠BCD=∠CAB．
②∵EC∥AB，∠BCD=∠3，
∴∠4=∠3=∠BCD．
∵∠CBD+∠ABC=180°，
∵∠AEC+∠ABC=180°，
∴∠CBD=∠AEC．
∴△ACE∽△DCB．
∴
| CA |
| CE |
| CD |
| CB |
∴CD?CE=CB?CA．
（2）解：如图3，连接EB，交OC于点H，
∵CG⊥AB于点G，∠ACB=90°．
∴∠3=∠BCG．
∴AE=BC，
∵∠3=∠4．
∴∠3=∠EBG．
∴∠BCG=∠EBG．
∵tan∠CAB＝
| 1 |
| k |
∴在Rt△HGB中，tan∠HBG＝
| GH |
| GB |
| 1 |
| k |
在Rt△BCG中，tan∠BCG＝
| BG |
| CG |
| 1 |
| k |
设HG=a，则BG=ka，CG=k2a．CH=CG-HG=（k2-1）a．
∵EC∥AB，
∴△ECH∽△BGH．
∴
| EC |
| GB |
| CH |
| HG |
| (k2?1)a |
| a |
解法二：如图4，作直径FC，连接FB、EF，则∠CEF=90°．
∵CG⊥AB于点G，
在Rt△ACG中，tan∠CAB＝
| CG |
| AG |
| 1 |
| k |
设CG=a，则AG=ka，BG＝
| 1 |
| k |
| 1 |
| k |
∵EC∥AB，∠CEF=90°，
∴直径AB⊥EF．
∴EF=2CG=2a．
EC=
| CF2?EF2 |
(k+
|
| 1 |
| k |
∴
| EC |
| BG |
