Question

已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，又PD⊥底ABCD，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的

已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，又PD⊥底ABCD，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点．（1）证明：DN ∥ 平面PMB；（2）证明：平面PMB⊥平面PAD；（3）求点A到平面PMB的距离．

Answer 1

（1）证明：取PB中点Q，连接MQ、NQ， 因为M、N分别是棱AD、PC中点， 所以QN ∥ BC ∥ MD，且QN=MD，于是DN ∥ MQ． DN ∥ MQ MQ?平面PMB DN?平面PMB ?DN ∥ 平面PMB． （2） PD⊥平面ABCD MB?平面ABCD ?PD⊥MB 又因为底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，且M为AD中点， 所以MB⊥AD． 又AD∩PD=D， 所以MB⊥平面PAD. MB⊥平面PAD MB?平面PMB ?平面PMB⊥平面PAD． （3）因为M是AD中点，所以点A与D到平面PMB等距离． 过点D作DH⊥PM于H，由（2）平面PMB⊥平面PAD，所以DH⊥平面PMB． 故DH是点D到平面PMB的距离. DH= a 2 ×a 5 2 a = 5 5 a ． ∴点A到平面PMB的距离为 5 5 a ．