Question

已知直线l过点P（1，2）为，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点．（1）当OP⊥l时，求直

已知直线l过点P（1，2）为，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点．（1）当OP⊥l时，求直线l的方程；（2）当△OAB面积最小时，求直线l的方程并求出面积的最小值．

Answer 1

（1）由已知得：k OP =2， ∴直线l的斜率为 k l =- 1 k op =- 1 2 ，…（2分） 由直线方程的点斜式，可得直线l的方程为 y-2=- 1 2 (x-1) ， 化简得直线l的方程为x+2y-5=0…（4分） （2）设直线l的方程为 x a + y b =1(a＞0，b＞0) ， ∵直线过P（1，2），∴ 1 a + 2 b =1 ∵1= 1 a + 2 b ≥2 1 a ? 2 b = 8 ab ∴ab≥8，当且仅当a=2，b=4时等号成立 此时 S △ABC = 1 2 ab≥4 ，即面积的最小值为4…（8分） 所求直线l的方程是 x 2 + y 4 =1 ，即2x+y-4=0…（10分）