Question

二次函数y=ax 2 +bx+c的图象如图所示，给出下列结论：①2a+b＞0；②b＞a＞c；③若-1＜m＜n＜1，则m+n＜-

二次函数y=ax 2 +bx+c的图象如图所示，给出下列结论：①2a+b＞0；②b＞a＞c；③若-1＜m＜n＜1，则m+n＜- b a ；④3|a|+|c|＜2|b|．其中正确的结论是______（写出你认为正确的所有结论序号）．

Answer 1

∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴2a＜0， 对称轴x=- b 2a ＞1，-b＜2a，∴2a+b＞0，故选项①正确； ∵-b＜2a，∴b＞-2a＞0＞a， 令抛物线解析式为y=- 1 2 x 2 +bx- 1 2 ， 此时a=c，欲使抛物线与x轴交点的横坐标分别为 1 2 和2， 则 1 2 +2 2 =- b 2×(- 1 2 ) ， 解得：b= 5 4 ， ∴抛物线y=- 1 2 x 2 + 5 4 x- 1 2 ，符合“开口向下，与x轴的一个交点的横坐标在0与1之间， 对称轴在直线x=1右侧”的特点，而此时a=c，（其实a＞c，a＜c，a=c都有可能）， 故②选项错误； ∵-1＜m＜n＜1，-2＜m+n＜2， ∴抛物线对称轴为：x=- b 2a ＞1， -b a ＞2，m+n ＜ -b a ，故选项③正确； 当x=1时，a+b+c＞0，2a+b＞0，3a+2b+c＞0， ∴3a+c＞-2b，∴-3a-c＜2b， ∵a＜0，b＞0，c＜0（图象与y轴交于负半轴）， ∴3|a|+|c|=-3a-c＜2b=2|b|，故④选项正确． 故答案为：①③④．