已知函数f(x)=x3+3ax2+3x+1,若x∈[2,+∞)时,f(x)≥0,求a的取值范围
已知函数f(x)=x3+3ax2+3x+1,若x∈[2,+∞)时,f(x)≥0,求a的取值范围....
已知函数f(x)=x3+3ax2+3x+1,若x∈[2,+∞)时,f(x)≥0,求a的取值范围.
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x∈[2,∞),f(x)≥0,即x3+3ax2+3x+1≥0,即x+
+
≥-3a.
令g(x)=x+
+
,则g'(x)=1-
-
=
,
下面我们证g'(x)≥0在x∈[2,∞)恒成立,也即x3-3x-2≥0在x∈[2,∞)上恒成立.
令h(x)=x3-3x-2,则h'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),易知h'(x)≥0在x∈[2,∞)上恒成立,
∴h(x)在x∈[2,∞)上为增函数,∴h(x)≥h(2)=0,也就是x3-3x-2≥0在x∈[2,∞)上恒成立,
∴g'(x)≥0在x∈[2,∞)上恒成立,g(x)在x∈[2,∞)为增函数,
∴g(x)的最小值为g(2)=
,
-3a≤g(2)=
,
解得a≥-
.
3 |
x |
1 |
x2 |
令g(x)=x+
3 |
x |
1 |
x2 |
3 |
x2 |
2 |
x3 |
x3?3x?2 |
x3 |
下面我们证g'(x)≥0在x∈[2,∞)恒成立,也即x3-3x-2≥0在x∈[2,∞)上恒成立.
令h(x)=x3-3x-2,则h'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),易知h'(x)≥0在x∈[2,∞)上恒成立,
∴h(x)在x∈[2,∞)上为增函数,∴h(x)≥h(2)=0,也就是x3-3x-2≥0在x∈[2,∞)上恒成立,
∴g'(x)≥0在x∈[2,∞)上恒成立,g(x)在x∈[2,∞)为增函数,
∴g(x)的最小值为g(2)=
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-3a≤g(2)=
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解得a≥-
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