Question

对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）有如下定义：定义（1）：设f″（x）是函数y=f（x）的导数f′（x

对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）有如下定义：定义（1）：设f″（x）是函数y=f（x）的导数f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”；定义（2）：设x0为常数，若定义在R上的函数y=f（x）对于定义域内的一切实数x，都有f（x0+x）+f（x0-x）=2f（x0）成立，则函数y=f（x）的图象关于点（x0，f（x0））对称．己知f（x）=x3-3x2+ax+2在x=-1处取得极大值．请回答下列问题：（1）当x∈[0，4]时，求f（x）的最小值和最大值；（2）求函数f（x）的“拐点”A的坐标，并检验函数f（x）的图象是否关于“拐点”A对称．

Answer 1

（1）f′（x）=3x²-6x+a
∵f（x）=x³-3x²+ax+2在x=-1处取得极大值
∴f′（-1）=0
∴a=-9    …（2分）
∴f（x）=x³-3x²-9x+2
∴f′（x）=3（x+1）（x-3）=0知x=-1或x=3…（3分）
当x变化时，f（x）变化如下：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，3）	3	（3，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	7	减	-25	增

又f（0）=2，f（4）=-18
∴f（x）_min=-25，f（x）_max=2      …（6分）
（2）由（1）知f′（x）=3x²-6x-9，∴f″（x）=6x-6    …（8分）
由f″（x）=0，即6x-6=0，∴x=1，
又f（1）=-9，
∴f（x）=x³-3x²-9x+2的“拐点”A的坐标是（1，-9）…（10分）
∵f（1+x）+f（1-x）=-18，2f（1）=-18
∴由定义（2）知：f（x）=x³-3x²-9x+2的图象关于点A（1，-9）对称…（12分）