Question

（2014?浦东新区二模）（文）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AA1=AB=AC=1，∠ABC=π4，D是CC1的

（2014?浦东新区二模）（文）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AA1=AB=AC=1，∠ABC=π4，D是CC1的中点，点M在线段A1B1上．（1）当M为A1B1中点时，求异面直线DM与AB所成角的大小．（2）指出直线CC1与平面MAB的位置关系（不用证明），并求三棱锥D-MAB的体积．

Answer 1

（1）∵AB∥A₁B₁
∴∠A₁MD或其补角是异面直线DM与AB所成的角．…3分
连接A₁D，则三角形A₁DM为直角三角形，且∠DA1M＝900，A1D＝

5

2

，A1M＝

1

2

∴tan∠A1MD＝

A1D

A1M

＝

5

…5分
∴异面直线DM与AB所成的角为arctan

5

．…6分
（2）CC₁∥平面AA₁B₁B即CC₁∥平面MAB（不必证明）…7分
∵CA⊥AB，CA⊥AA₁，AB∩AA₁=A，
∴CA⊥平面AA₁B₁B
∴C到平面AA₁B₁B的距离为CA=1．
∵CC₁∥平面AA₁B₁B，
可知D到平面AA₁B₁B的距离与C到平面AA₁B₁B的距离相等，为CA=1．…9分
又AB∥A₁B₁，∴△MAB的面积S△ABM＝

1

2

AB?AA1＝

1

2

…11分
∴VD?MAB＝

1

3

S△ABM?CA=

1

3

?

1

2

?AC＝

1

6

．…12分．