Question

设数列an的前n项和为sn，且对任意的n∈N*都有an＞0，sn=√a1^3+a2^3+....an^3.求数列an的通项公式

Answer 1

楼上乱解，又没说是1^3+2^3+...+n^3，怎么能用1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2这个求和公式呢？你都先按an=n计算了，后面还求什么通项公式啊，这不是自己推导出自己么。

解：
an>0,Sn>Sn-1
a1=S1=√a1^3
a1^2=a1^3
a1^2(a1-1)=0
a1=1或a1=0(舍去)

Sn=√(a1^3+a2^3+....an^3)
Sn^2=a1^3+a2^2+...+an^3
Sn-1^2=a1^3+a2^3+...+a(n-1)^3
Sn^2-Sn-1^2=an^3=(Sn-Sn-1)^3
(Sn+Sn-1)(Sn-Sn-1)=(Sn-Sn-1)^3
Sn+Sn-1=(Sn-Sn-1)^2
Sn+Sn-an=an^2
2Sn=an^2+an
Sn=(an^2+an)/2
Sn-1=[a(n-1)^2+a(n-1)]/2
an=Sn-Sn-1=(an^2+an)/2-[a(n-1)^2+a(n-1)]/2
2an=an^2+an-a(n-1)^2-a(n-1)
an^2-a(n-1)^2-[an+a(n-1)]=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)-1]=0
an+a(n-1)=0(各项均为正，和>0，舍去)或an-a(n-1)=1
an-a(n-1)=1，为定值。
{an}为首项是1，公差是1的等差数列。
an=1+(n-1)*1=n
通项公式为an=n

Answer 2

两边平方得Sn^2=a1^3+a2^3+……an^3
所以Sn^2=[n(n+1)]^2/4
所以Sn=±{[n(n+1)]/2}
因为an>0
所以Sn=n(n+1)/2
所以an=Sn-S(n-1)=n