Question

已知3阶矩阵A的第一行是（a，b，c），a，b，c不全为零，矩阵B=12 324 636  ...

已知3阶矩阵A的第一行是（a，b，c），a，b，c不全为零，矩阵B=12 324 636 k（k为常数），且AB=O，求线性方程组Ax=0的通解．

Answer 1

由AB=O知，B的每一列均为Ax=0的解，且r（A）+r（B）≤3．
（1）若k≠9，
则r（B）=2，于是r（A）≤1，显然r（A）≥1，故：r（A）=1．
此时Ax=0的基础解系所含解向量的个数为：3-r（A）=2，
矩阵B的第一、第三列线性无关，可作为其基础解系，
故Ax=0 的通解为：
x＝k1

1 2 3

+k2

3 6 k

，其中k₁，k₂为任意常数．
（2）若k=9，
则r（B）=1，从而：1≤r（A）≤2，
1）若r（A）=2，
则Ax=0的通解为：x=k1

1 2 3

，其中k₁，k₂为任意常数．
2）若r（A）=1，
则Ax=0 的同解方程组为：ax₁+bx₂+cx₃=0，
由于a，b，c不全为零，故不妨设a≠0，
则其通解为：x＝k1

? b a 1 0

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